Ein neuer Ansatz in der hydrodynamischen Stabilitätstheorie

Wenn man eine Flüssigkeit mit niedriger Geschwindigkeit durch ein zylindrisches Rohr pumpt, stellt sich nach kurzer Zeit ein stationärer laminarer Strömungszustand ein: Die Flüssigkeitsmoleküle bewegen sich im wesentlichen parallel zur Längsachse des Rohres mit einer Geschwindigkeit, die von null an der Wand des Rohres bis zu einem Maximum in der Mitte parabelförmig ansteigt (Bild 1). Erhöht man die mittlere Strömungsgeschwindigkeit, so ändert sich an dieser sogenannten Poiseuille-Strömung zunächst nichts Wesentliches, bis bei einem gewissen Wert Wirbel entstehen und die Strömung einen völlig anderen Charakter annimmt: Sie wird turbulent.

Das ist wohlbekannt und experimentell an jedem Wasserhahn nachvollziehbar. Um so ärgerlicher war es bislang, daß die mathematische Modellierung dieses Phänomens weit von der Realität entfernt blieb. Während im Experiment die Turbulenz bereits bei Reynolds-Zahlen um 1000 einsetzt, müßte nach der üblichen Stabilitätsanalyse die Strömung bis hinauf zu einer Reynolds-Zahl von 5772 laminar bleiben. (Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Größe, in welche die Abmessungen des Systems zum Beispiel der Rohrdurchmesser –, die Strömungsgeschwindigkeit und die Viskosität des Mediums eingehen. Wesentliche Eigenschaften einer Strömung wie etwa die Laminarität hängen nur von der Reynolds-Zahl ab. )

Es gibt allerdings eine gute Entschuldigung für diese Diskrepanz. Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik – insbesondere die Navier-Stokes-Gleichungen, welche die viskose Strömung beschreiben – sind ihrer Natur nach nichtlinear und damit schwierig. Es ist zum Beispiel unmöglich, die turbulente Bewegung von Wasser in einem Rohr durch eine geschlossene Formel zu beschreiben; das gelingt lediglich für Situationen wie bei der Poiseuille-Strömung, wenn