Lotto, Schulmädchen und Versuchsplanung - eine Entdeckung in der Designtheorie

Es gibt ein absolut sicheres Verfahren, im Lotto sechs Richtige zu tippen: Man gebe für jede sechs-elementige Teilmenge der Zahlen von 1 bis 49 einen Tip ab. Das sind freilich 13983816 Kombinationen. Und selbst wenn man bedenkt, daß außer dem Hauptgewinn 43×6= 258 mal fünf Richtige, erheblich häufiger vier und noch mehr drei Richtige anfallen, kosten die Lottoscheine insgesamt mehr, als man gewinnt; dafür sorgen die Spielregeln der Lottogesellschaft.

Wenn man es nun aber – bescheidener – nur auf fünf Richtige anlegt? Ein einziger Tip deckt ja bereits sechs Chancen auf fünf Richtige ab; also müßte man statt 1906884 Tips (so viele Fünferkombinationen aus 49 gibt es) nur ein Sechstel dieser Anzahl abgeben und hätte mit bescheidenen 317814 Versuchen trotzdem fünf Treffer garantiert – vorausgesetzt, in all diesen Sechserkombinationen ist keine Fünferkombination doppelt enthalten. Dazu wäre die richtige Auswahl aus dem riesigen Sortiment aller Tips zu treffen: Wenn ein Tip 1, 2, 3, 4, 5, 6 lautet, darf kein weiterer die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 1, 2, 3, 4, 6 enthalten, und so weiter.

Es stellt sich heraus, daß diese Forderung nicht erfüllbar ist: Man kann nicht alle Kombinationen abdecken, ohne einige davon mehrfach zu verwenden. Läßt sich denn aus der Not eine Tugend machen und eine Auswahl finden, die jede Fünferkombination – beispielsweise – genau elfmal enthält? Für den Lottospieler liefe das auf den elffachen garantierten Gewinn bei elffachem Einsatz hinaus (wenn man davon absieht, daß dann die Quote entsprechend absinkt).

Formalisiert lautet die Aufgabe: Zu einer vorgegebenen Menge mit v (im Beispiel 49) Elementen finde man ein Sortiment von k-elementigen Teilmengen, sogenannten Blöcken, mit der Eigenschaft, daß jede t-elementige Teilmenge in genau l Blöcken enthalten ist. Im Beispiel ist ein Block gerade ein Tip, k=6, t=5 und l=11.

Ein solches Sortiment heißt in der Mathematik ein Design; es wird charakterisiert durch die vier gen